Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, devais optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.
seorang ahli astronomi dan matematika Prancis
Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.
Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pemrosesan sinyal dan teori kemungkinan.
Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.
Definisi formal
Suatu fungsi (sinyal atau gelombang) f(t) yang dinyatakan dalam interval waktu t positif, dapat dinyatakan dalam bidang s dengan menggunakan transformasi Laplace, dengan hasil transformasi F(s)
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:
Bentuk di atas sering ditulis dalam bentuk:
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyatakan model matematis dari sistem linier waktu kontinu tak ubah waktu
Transformasi Laplace dapat menyelesaikan penyelesaian persamaan differensial sistem linier waktu kontinu tak ubah waktu,
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mencari kestabilan sistem linier waktu kontinu tak ubah waktu
Dalam ilmu pengaturan, transformasi Laplace dinyatakan sebagai teori kontrol klasik, yang digunakan untuk mencari kestabilan sistem
Transformasi Laplace dapat mencari respon atau fungsi tanggapan sistem linier waktu kontinu tak ubah waktu
Invers Transformasi Laplace
Tabel Transformasi Laplace
Sifat-sifat Transformasi Laplace
Pecahan Parsial X(s)
Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial, Derajat P(s) < derajat Q(s).
Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
x(t) menjadi :
Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Q(s) mempunyai akar rangkap
Sistem LTI dengan Pers Diferensial
Sistem mempunyai hubungan
Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
1. x(t) untuk t>0
2. y(0–),y´(0–),…,y(n-1)(0–)
3. x(0–),x´(0–),…,x(m-1)(0–)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)… Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
Contoh soal 1
Contoh soal 2
