Proses Acak

Beberapa model matematis untuk sinyal-sinyal pesan dan derau yang bersifat acak akan dijumpai dalam sistem komunikasi. Sinyal-sinyal acak tidak dapat dijabarkan oleh fungsi-fungsi matematis yang pasti sebelum kita menerimanya, demikian pula derau tidak dapat dituliskan sebagai fungsi waktu yang deterministik sebelum timbulnya. Namun, jika kita mengamati sinyal-sinyal acak ini dalam jangka waktu yang cukup lama, maka kita akan mendapatkan adanya sifat-sifat keteraturan tertentu. Sifat-sifat keteraturan (regularities) ini dapat dijabarkan dengan menggunakan besaran-besaran peluang (probability) dan rata-rata statistik. Sehingga, sebuah model matematika untuk sinyal-sinyal acak dan derau dapat diturunkan, dalam bentuk sekumpulan fungsi waktu yang kemungkinan kemunculuannya dijabarkan oleh peluang-peluang dan disebut sebagai proses acak (random process).

Notasi

Sebuah eksperiman acak yang menelurkan hasil-hasil $\lambda$ di dalam sebuah ruang sampel S. Apabila setiap hasil $\lambda \varepsilon S$ tersebut dipasangkan dengan sebuah fungsi waktu $x(t)$ yang bernilai riil, maka terbentuklah sebuah proses acak atau proses stokastik. Sebuah proses acak $X(t,\lambda )$ oleh karenanya adalah sebuah fungsi matematika dengan dua parameter, yaitu waktu $t$ dan hasil $\lambda$ . Untuk sebuah hasil (titik sampel) $\lambda$ tertentu, sebut saja $\lambda_{i}$ , maka sebuah proses acak tereduksi menjadi sebuah fungsi waktu: $X(t,\lambda _{i})=x_{i}(t)$ . Fungsi waktu ini disebut sebagai fungsi sampel. Himpunan semua fungsi sampel yang merupakan pasangan dari semua hasil $\lambda$ di dalam ruang sampel $S$ disebut sebagai ensembel. Untuk sebuah nilai waktu yang tetap $t_{j}$ , maka sebuah proses acak menjadi sebuah variabel acak: $X(t_{j},\lambda )=X_{j}$ . Untuk sebuah nilai waktu $t$ yang tetap $(=t_{j})$ dan sebuah hasil $\lambda$ tertentu $(=\lambda _{i})$ , maka sebuah proses acak menghasilkan sebuah bilangan tunggal. Karena alasan ini, sebuah proses acak seringkali didefinisikan pula sebagai sekumpulan variabel acak yang masing-masing diberi indeks berupa parameter $t\varepsilon T$ , di mana $T$ disebut sebagai himpunan indeks.

Pada gambar diatas mengilustrasikan hubungan antara konsep-konsep tentang ruang sample dari sebuah eksperimen acak, hasil-hasil eksperimen dan fungsi-fungsi sampel yang diikatkan dengan hasil-hasil tersebut, serta variabel-variabel acak yang didapatkan dari pengamatan sesaat (t tetap) di dua titik waktu $t=t_{1}$ dan $t=t_{2}$ terhadap fungsi-fungsi sampel.
Selanjutnya, notasi $X(t,\lambda)$ akan disingkat menjadi $X(t)$

Model Peluang

Sebuah proses acak $X(t)$ , untuk sebuah nilai $t_{1}$ yang tetap, maka $X(t_{1})=X_{1}$ adalah sebuah variabel acak dengan fungsi distribusi $F_{x}(x_{1};t_{1})$ yang didefinisikan oleh persamaan
$F_{x}(x_{1};t_{1})=P{X(t_{1})\leqslant x_{1}}$
dimana $x_{1}$ adalah sembarang bilangan riil

Fungsi $F_{x}(x_{1};t_{1})$ disebut sebagai distribusi derajat pertama dari $X(t)$ . Fungsi kerapatan (pdf) yang terkait dengan distribusi ini disebut fungsi kerapatan derajat pertama dan dapat diturunkan sebagai berikut :
$f_{x}(x_{1};t_{1})=\frac{\partial F_{x}(x_{1};t_{1}) }{\partial x_{1}}$

Demikian pula, untuk dua nilai waktu $t_{1}$ dan $t_{2}$ yang tetap, $X(t_{1})=X_{1}$ dan $X(t_{2})=X_{2}$ adalah dua buah variabel acak, dengan fungsi distribusi gabungan yang disebut sebagai distribusi derajat kedua dari X dan didefinisikan oleh persamaan
$F_{x}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=P{X(t_{1})\leqslant x_{1},X(t_{2})\leqslant x_{2}}$
Fungsi kerapatan yang terkait dengan distribusi ini dinamakan fungsi kerapatan derajat kedua dan dapat diturunkan sebagai berikut :
$f_{x}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=\frac{\partial^2 F_{x}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})}{\partial x_{1} \partial x_{2}}$
Dengan cara yang sama, untuk n variabel acak $X(t_{i})=X_{i}(i=1,...,n)$ , maka distribusi derajat ke-n dari X adalah
$F_{x}(x_{1},...,x_{n};t_{1},...,t_{n})=P{X(t_{1})\leqslant x_{1},...,X(t_{n})\leqslant t_{n}}$
Fungsi kerapatan derajat ke-n yang terkati dengan distribusi ini adalah :
$f_{x}(x_{1},...,x_{n};t_{1},...,t_{n})=\frac{\partial^n F_{x}(x_{1},...,x_{n};t_{1},...,t_{n})}{\partial x_{1} \partial x_{n}}$

Rata-rata Statistik

Sebagaimana halnya variabel acak, proses acak dapat pula dijabarkan oleh sekumpulan besaran rata-rata statistik (rata-rata ensembel). Rata-rata (mean) dari X(t) didefinisikan oleh persamaan :
$\mu _{X}(t)=E[X(t)]=\int _{\sim }^{\sim }xf_{X}(x;t)dx$
di mana untuk t yang bernilai tetap, X(t) dianggap sebagai sebuah variabel acak.
Otokorelasi (autocorrelation) dari X(t) didefinisikan oleh persamaan:
$R_{XX}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1})X(t_{2})]=\int_{-\sim}^{\sim}\int_{-\sim}^{\sim}x_{1}x_{2}f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})dx_{1}dx_{2}$
Otokovarians (autocovariance) dari X(t) didefinisikan oleh persamaan :
$C_{XX}(t_{1},t_{2})=E[X(t_{1}-\mu _{X}t_{1})][X(t_{2})-\mu _{X}t_{2}]=R_{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{X}(t_{1})\mu _{X}(t_{2})$

Momen gabungan ke-n dari X(t) didefinisikan oleh persamaan :
$E[X(t_{1}...X(t_{n})]=\int_{-\sim}^{\sim}...\int_{-\sim}^{\sim}x_{1}...x_{n}f_{X}(x_{1}...,x_{n};t_{1}...,t_{n})dx_{1}...dx_{n}$

Derajat Stationer

Stationer Ketat / Strict Sense Statinonary (SSS)

Sebuah proses acak X(t) dikatakan bersifat stationer ketat (SSS) jika besaran-besaran statistiknya tidak berubah nilai, meskipun terjadi pergeseran titik acuan dari titik asalnya. Secara matematis, proses acak X(t) bersifat SSS jika :
$f_{X}(x_{1},...,x_{n};t_{1},...,t_{n})=f_{X}(x_{1},...,x_{n};t_{1}+c,...,t_{n}+c)$
untuk sembarang nilai c
Dari persamaan diatas, kita dapat memahami bahwa $f_{X}(x_{1};t_{1})=f_{X}(x_{1};t_{1}+c)$ untuk sembarang nilai c. Sehingga, kerapatan derajat pertama dari sebuah X(t) SSS bukan merupakan sebuah fungsi dari t (atau tidak bergantung pada t)
$f_{X}(x_{1};t)=f_{X}(x_{1})$
Demikian pula, $f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1}+c,t_{2}+c)$ untuk sembarang nilai c. Bila kita menjadikan $c=t_{1}$ , maka
$f_{X}(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2})=f_{X}(x_{1},x_{2};t_{2}-t_{1})$
yang mana persamaan ini mengindikasikan bahwa jika $X(t)$ bersifat SSS, maka kerapatan gabungan dari variabel-variabel acak $X(t)$ dan $X(t+\tau )$ bukan merupakan sebuah fungsi waktu, dan hanya bergantung pada selisih (atau pergeseran) waktu $\tau$ saja.

2. Stationer Luwes / Wide-Sense Stationary (WSS)

Sebuah proses acak X(t) dikatakan bersifat stationer luwes (WSS) jika rata-ratanya tidak berubah nilai
$E[X(t)]=\mu _{x}$
dan otokorelasinya bergantung hanya pada selisih (atau pergereran)waktu $\tau$

$E[X(t)X(t+\tau )]=R_{XX}(\tau)$

Kita dapat mengetahui pula bahwa otokovarians dari sebuah proses acak WSS juga hanya bergantung pada pergeseran waktu $\tau$
$C_{XX}(\tau)=R_{XX}(\tau)-\mu_{X}^{2}$
Dengan menjadikan $\tau=0$ kita mendapatkan :
$E[X^{2}(t)]=R_{XX}(0)$
Sehingga, daya rata-rata yang dikandung oleh sebuah proses WW tidak bergantung pada t dan sama dengan $R_{XX}(0)$ .
Perhatikan bahwa sebuah proses SSS pastilah merupakan WSS dan korelasi silang (cross correlation) antara keduanya hanya bergantung pada pergeseran waktu $\tau$ .
$C_{XY}(\tau)=R_{XY}(\tau)-\mu_{X}\mu_{Y}$

(reference : Hwei HSU, Schaum’s Outlines)

S	S	R	K	J	S	M
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Notasi

Model Peluang

Rata-rata Statistik

Derajat Stationer

Stationer Ketat / Strict Sense Statinonary (SSS)

2. Stationer Luwes / Wide-Sense Stationary (WSS)

Tinggalkan Balasan