Peluang Kejadian

Istilah random (acak) mengandung arti tidak dapat diduga atau diramalkan. Jika sang penerima di ujung lain kanal komunikasi telah mengetahui sebelumnya apa isi pesan yang dikirimkan, maka pesan tak ada gunanya dikirimkan dan karenanya komunikasi tidak perlu ada. Komunikasi ada karena pesan yang akan diterima oleh pihak penerima bersifat acak atau tidak dapat diduga sebelumnya. Lebih jauh lagi, sinyal yang ditransmisikan akan selalu disertai oleh derau yang muncul di dalam sistem. Bentuk gelombang dari derau ini juga bersifat acak sehingga menimbulkan gangguan yang tidak dapat diramalkan pada sinyal.

PELUANG

Segala bentuk proses pengamatan disebut dengan eksperimen. Informasi yang didapatkan dari proses pengamatan ini disebut sebagai hasil eksperimen. Sebuah eksperimen disebut sebagai eksperimen acak jika hasilnya tidak dapat diramalkan. Contoh-contoh eksperimen acak misalnya pelemparan sebuah dadu atau uang logam, pengambilan selembar kartu remi dari tumpukannya, atau pemilihan sebuah pesan yang akan ditransmisikan dari sekumpulan pesan.

Himpunan semua hasil yang mungkin diberikan oleh sebuah eksperimen acak disebut sebagai ruang sampel $S$ . Sebuah anggota di dalam himpunan S disebut sebagai titik sample. Tiap-tiap hasil yang diberikan oleeh sebuah eksperimen acak merupakan sebuah titik sampel di dalam ruang sampel bagi eksperimen acak tersebut.

Sebuah himpunan A disebut sebagai sub-himpunan dari $B$ , dituliskan $A\subset B$ , jika setiap anggota di dalam A juga merupakan anggota $B$ , Setiap sub-himpunan dari ruang sampel $S$ disebut sebagai sebuah kejadian. Sebuah titik sampel tunggal di dalam $S$ biasanya disebut sebagai sebuah kejadian elementer. Perhatikan bahwa ruang sampel $S$ merupakan sub-himpunan bagi dirinya sendiri, atau dituliskan $S\subset S$ . Hal ini dikarenakan $S$ adalah himpunan yang melingkupi semua hasil yang mungkin ada, sehingga disebut pula sebagai kejadian pasti.

Aljabar Kejadian

Komplemen (pelengkap) dari kejadian A, dituliskan $\overline{A}$ , adalah kejadian (himpunan) yang beranggotakan semua titik sampel di dalam S yang bukan anggota A.

Union (gabungan) dari kejadian A dan kejadian B, dituliskan $A\cup B$ , adalah kejadian (himpunan) yang beranggotakan semua titik sampel yang ada di dalam A atau B atau di dalam keduanya.
Irisan dari kejadian A dan kejadian B, dituliskan $A\cap B$ , adalah kejadian yang beranggotakan semua titik sampel yang sekaligus ada di dalam A dan B
Kejadian yang tidak memuat satu titik sampel pun disebut sebagai kejadian nihil (null event), dilambangkan oleh $\varnothing$ . Sehingga, $\varnothing$ merepresentasikan sebuah kejadian yang mustahil
Dua kejaian A dan B dikatakan saling eksklusif (mutually exclusive) atau tak-berisisan (disjoint) jika keduanya tidak memiliki titik-titik sampel yang sama, atau jelasanya $A\cap B=\varnothing$
Dari kumpulan definisi diatas, kita dapat menurukan beberapa entitas berikut ini :
$\overline{S}=\varnothing \ \ dan \ \ \overline{\varnothing}=S \\ S\cup A=S \ \ dan \ \ S\cap A=A \\ A\cup \overline{A}=S \ \ dan \ \ A\cap \overline{A}$

Peluang Kejadian

Kejadian-kejadian yang berada di dalam himpunan semesta S diberikan nilai-nilai riil yang mencerminkan seberapa besar kemungkinan kemunculannya; nilai-nilai kemungkinan ini dirujuk secara formal sebagai peluang. Dalam definisi aksiomatik-nya, peluang P(A) dari suatu kejadian A adalah sebuah nilai riil yang diberikan kepada A sebagai ukuran kemungkinan kemunculannya dan memenuhi ketiga aksioma berikut ini:
Aksioma 1 : $P(A)\geq 0$
Aksioma 2 : $P(S)= 0$
Aksioma 3 : $P(A\cup B)=P(A)+P(B), jika A\cap B=\varnothing$
Dengan ketiga aksioma ini, kita dapat menurunkan sifat-sifat lainnya dari besaran peluang
1. $P(\bar{A})=1-P(A)$
2. $P(\varnothing )=0$
3. $P(A)\leqslant P(B) \ \ \ \ jika A\subset B$
4. $P(A)\leqslant 1$
5. $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Perhatikan bahwa sifat 4 dapat diturunkan dengan mudah dari aksioma 2 dan sifat 3. Karena $A\subset S$ , maka
$P(A)\leqslant P(S)=1$
Selanjutnya, menggabungkan persamaan ini dengan aksioma 1, kita mendapatkan
$0\leqslant P(A)\leqslant 1$
Sifat 5 menyiratkan bahwa
$P(A\cup B)\leqslant P(A)+P(B)$
karena $P(A\cap B)\geqslant 0$ , berdasarkan aksioma 1.
Kita dapat pula memahami definisi P(A) secara intuitif dengan menggunakan konsep frekuensi relatif. Umpamkan bahwa sebuah eksperimen acak dilakukan berulang-ulang sebanyakan n kali. Jika di dalam n pengulangan tersebut kejadian A muncul sebanyak $n_{A}$ kali, makan peluang munculnya A, atau P(A), didefinisikan sebagai
$P(A)=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n_{A}}{n}$
Perhatikan bahwa limit pada persamaan di atas boleh jadi tidak ada.

Kejadian-kejadian Berpeluang Sama

Sebuah ruang sampel berhingga (finite) S dengan elemen-elemen yang banyaknya juga berhingga
$S={\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{3}}$
di mana $\lambda _{i}$ adalah kejadian-kejadian elementer. Misalkan $P(\lambda _{i})=p_{i}$ , maka
1. $0\leqslant p_{i}\leqslant 1 \ \ \ \ \ \ i=1,2,...,n$
2. $\sum_{i=1}^{n}p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{n}=1$
3. Jika $A= \bigcup_{i\epsilon l}\lambda_{i}$ , di mana l adalah himpunan semua notasi subskrip yang digunakan maka
$P(A)=\sum_{\lambda_{i}\epsilon A}p(\lambda_{i})=\sum_{\lambda_{i}\epsilon A}p_{i}$
Jika semua elementer kejadian elementer $\lambda_{i}(i=1,2,...,n)$ memiliki peluang kemunculan yang sama besar, atau jelasnya
$p_{1}=p_{2}=...=p_{n}$
kita simpulan dari persamaan sebelumnya
$p_{i}=\frac{1}{n} \ \ \ \ \ \ \ i=1,2,...,n$
dan
$P_{A}=\frac{n(A)}{n}$
di mana n(A) adalah banyaknya hasil yang dapat diberikan oleh kejadian A dan n adalah banyaknya titik sampel di dalam S.

Peluang Kondisional

Peluang kondisional dari suati kejadian A dengan adanya kejadian B, yang dilambangkan oleh P(A|B), didefinisikan sebagai
$P_{A|B}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \ \ \ \ P(B)\succ 0$
di mana ${P(A\cap B)}$ adalah peluang irisan antara A dan B. Demikian pula,
$P_{B|A}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \ \ \ \ P(A)\succ 0$
adalah peluang kondisional dari kejadian B dengan adanya (munculnya terlebih dahulu) kejadian A. Dari persamaan kita dapat menuliskan
$P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)$
Aturan Bayes :
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Kejadian-kejadian Berdiri Sendiri

Dua kejadian A dan B dikatakan berdiri sendiri atau independen atau tak bergantung satu sama lainnya (secara statistik), jika
$P(A|B)=P(A) \ \ \ \ \ \ dan \ \ \ \ \ \ P(B|A)=P(B)$
Persamaan diatas dapat membantu kita menyimpulkan bahwa, untuk dua buah kejadian A dan B yang secara statistik berdiri sendiri
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
Kita dapat memperluas definsi “keberdirian sendiri” (kemandirian) ini untuk lebih dari dua buah kejadian. Kejadian-kejadian $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ dikatakan berdiri sendiri jika dan jika untuk setiap sub-himpunan $A_{i_{1}},A_{i_{2}},...,A_{i_{k}} \ \ (2\leqslant k\leqslant n)$ dari kejadian-kejadian ini.
$P(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap ,...,\cap A_{i_{k}}) =P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})...P(A_{i_{k}})$

Peluang Total

Kejadian-kejadian $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ dikatakan saling eksklusif (mutually exclusive) dan menyeluruh (merupakan keseluruhan atau merupakan totalitas/exhaustive) jika
$\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2} \ \cup \ ... \ \cup A_{n}=S \ \ \ dan \ \ \ A_{i} \cup A_{j}=\O \ \ \ i\neq j$
Misalkan B adalah sembarang kejadian di dalam S, maka
$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_{i})=\sum_{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})$
yang disebut sebagai peluang total dari kejadian B. Misalkan $A=A_{i}$ , maka
$P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i})}{\sum_{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})}$
Perhatikan bahwa peluang-peluang di sisi sebelah kanan persamaan diatas dikondisikan oleh kejadian $A_{i}$ , sedangkan peluang di sisi sebelah kiri dikondisikan oleh kejadian B. Persamaan ini dikenal sebagai teorema Bayes

Referensi :

Komunikasi Analog dan Digital_Hwei Hsu

S	S	R	K	J	S	M
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

PELUANG

Aljabar Kejadian

Peluang Kejadian

Kejadian-kejadian Berpeluang Sama

Peluang Kondisional

Kejadian-kejadian Berdiri Sendiri

Peluang Total

Tinggalkan Balasan